Дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , … , a n , у которой a 1 = 12 , a n = 2 . Найдите n , если известно, что 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n − 1 a n = 20 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что

a_1 = 12, a_n = 2.

Также дано, что

1/a_1a_2 + 1/a_2a3 + ... + 1/a(n-1)a_n = 20.

Заметим, что

1/a_i-1a_i = 1/(a_i-1 - d)(a_i - d) = 1/d * (1/a_i-1 - 1/a_i),

где d - разность арифметической прогрессии.

Суммируя это выражение по всем i от 2 до n, получаем

1/a_1a_2 + 1/a_2a3 + ... + 1/a(n-1)a_n = 1/d*(1/a_1 - 1/a_n).

Заменяем данные значения и подставляем в данное равенство:

20 = 1/d * (1/12 - 1/2).

Решая это уравнение, найдем d = -2/13.

Далее, используя формулу длины арифметической прогрессии, найдем n:

a_n = a_1 + (n-1)d,

2 = 12 + (n-1)*(-2/13),

2 = 12 - 2n/13 + 2/13,

2/13 = 10 - 2n/13,

2n/13 = 10 - 2/13,

2n = 130 - 2,

n = 128/2 = 64.

Итак, n = 64.