Исследовать ряды на сходимость
∑(1+n)/(3+n^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования сходимости ряда ∑(1+n)/(3+n^2) можно воспользоваться признаком Даламбера.

Пусть дан ряд ∑an. Рассмотрим отношение a(n+1)/a_n. Если предел данного отношения при n, стремящемся к бесконечности, меньше 1, то ряд сходится. Если больше 1 или предел равен 1, то ряд расходится.

В данном случае, an = (1+n)/(3+n^2), a(n+1) = (1+n+1)/(3+(n+1)^2) = (2+n)/(4+2n+n^2).

Теперь рассчитаем отношение a_(n+1)/a_n:

[(2+n)/(4+2n+n^2)] / [(1+n)/(3+n^2)]
= [(2+n)/(4+2n+n^2)] * [(3+n^2)/(1+n)]
= (2+n)(3+n^2) / (4+2n+n^2)(1+n)
= 6 + 2n + 3n + n^2 / 4 + 2n + n^2
= 6 + 5n + n^2 / 4 + 2n + n^2
= (n+1)(n+6) / (n+1)(n+4)
= (n+6)/(n+4).

Предел данного отношения при n, стремящемся к бесконечности, равен 1, что означает, что признак Даламбера не применим в данном случае.

Для дальнейшего исследования можно попробовать использовать другие признаки, такие как признак сравнения, интегральный признак и др.