Найдите все простые числа p и q, что p 2 + q 3 и p 3 + q 2 – тоже простые.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Такие простые числа p и q не существуют.

Предположим, что p и q оба больше 3 (если одно из чисел равно 2 или 3, то сумма p^2 + q^3 или p^3 + q^2 не будет простым числом). Тогда любое простое число больше 3 можно представить в виде 6k ± 1 (где k - натуральное число).

Рассмотрим выражение p^2 + q^3. Поскольку для любых целых чисел a и b выполняется (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, то данное выражение можно переписать как p^2 + q^3 = p^2 + q^3 + 3pq - 3pq = (p + q)^2 - 3pq.

Таким образом, p^2 + q^3 представимо в виде квадрата разности двух количеств, а значит, в любом случае будет делиться на какое-то число, кроме 1 (например, на 3).

Аналогично, рассмотрим выражение p^3 + q^2. По аналогии, данное выражение можно представить в виде разности двух кубов: p^3 + q^2 = p^3 + q^2 + 3pq - 3pq = (p + q)(p^2 - pq + q^2) - 3pq = (p + q)((p - q)^2 + pq) - 3pq.

Таким образом, p^3 + q^2 тоже представимо в виде произведения двух чисел и, следовательно, не может быть простым.

Таким образом, не существует простых чисел p и q, для которых и p^2 + q^3 и p^3 + q^2 были бы также простыми.