Как решить задачу (комбинаторика)? Сколькими способами могут 5 женщин и 5 мужчин построиться для фотографии таким образом, чтобы ни две женщины, ни двое мужчин не стояли вместе?
Сижу и все никак не могу найти решение. Подскажите пожалуйста решение...хочу понять как все таки она решается.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом включений-исключений.

Обозначим $W$ - множество способов, когда две женщины стоят вместе, $M$ - множество способов, когда двое мужчин стоят вместе.

Тогда количество способов, когда ни две женщины, ни двое мужчин не стоят вместе, можно найти как количество всех способов минус количество способов, когда хотя бы одно из условий нарушено, то есть:

$|W \cup M| = |W| + |M| - |W \cap M|$

Вычислим количество способов, когда две женщины стоят вместе. Сначала выбираем двух женщин из 5-ти, стоящих вместе, затем стоятщих вместе женщин и оставшиеся три женщины можно поставить в оставшиеся 3 позиции $5!$ способами. Итого получаем $C^2_5 \cdot 3!$ способов.

Аналогично, вычислим количество способов, когда двое мужчин стоят вместе. Получаем $C^2_5 \cdot 3!$ способов.

Найдем количество способов, когда и женщины, и мужчины стоят вместе. Это можно сделать следующим образом: выбираем 2 мужчин, стоящих вместе, 2 женщин, стоящих вместе, и ставим 1 человека в оставшуюся позицию. Получаем $C^2_5 \cdot C^2_5 \cdot 3!$ способов.

Теперь подставим все значения в формулу:

$|W \cup M| = C^2_5 \cdot 3! + C^2_5 \cdot 3! - C^2_5 \cdot C^2_5 \cdot 3! = 20 \cdot 6 + 20 \cdot 6 - 10 \cdot 10 \cdot 6 = 240$

Итак, количество способов построиться для фотографии таким образом, чтобы ни две женщины, ни двое мужчин не стояли вместе, равно 240.