Как посчитать такой предел? (2^n)/(n+3)! (n -> бесконечночсть)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела данного выражения при n стремящемся к бесконечности, можно воспользоваться правилами Лопиталя.

Преобразуем выражение (2^n) / (n+3)! к виду (2^n) / ((n+3)(n+2)(n+1)*n!).

Разделим числитель и знаменатель на n! и получим: (2^n) / ((n+3)(n+2)(n+1)).

Разложим выражение в числитель (2^n) = (2^3)^n и воспользуемся свойством экспоненциальной функции a^b = e^(bln(a)), получим ((e^ln(8))^n) / ((n+3)(n+2)*(n+1)).

Сокращаем (n+3), (n+2), (n+1) в знаменателе с n!, получим (e^(ln(8)*n)) / n.

Рассмотрим предел отношения двух функций (e^(ln(8)*n)) и n при n стремящемся к бесконечности.

По правилу Лопиталя, предел отношения e^(ln(8)n) к n при n стремящемся к бесконечности равен пределу производной от e^(ln(8)n) к производной от n.

Производная от e^(ln(8)n) равна (ln(8)e^(ln(8)*n)), производная от n равна 1.

Получим предел (ln(8)e^(ln(8)n)) / 1 = ln(8)e^(ln(8)n) при n стремящемся к бесконечности.

Итак, предел исходного выражения (2^n) / (n+3)! при n стремящемся к бесконечности равен ln(8)e^(ln(8)n).