Все ли обыкновенные дифференциальные уравнения научились решать? Общеизвестно, что не все дифференциальные уравнения в частных производных умеют решать (хотя бы то же уравнение Шредингера или Навье-Стокса). А вот дифференциальные уравнения "обыкновенные" - решены ли они все? Любого вида? Если да, то где можно найти, как классифицировать уравнение, и найти метод его решения. А если нет, то как можно "на взгляд" определить, решаемо уравнение или нет?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В настоящее время существует много методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, включая явные и неявные методы, методы разделения переменных, методы вариации постоянных и многие другие. Однако не для всех дифференциальных уравнений существует аналитическое решение. Например, уравнения некоторых классов не являются интегрируемыми в элементарных функциях.

Чтобы определить, решаемо ли данное обыкновенное дифференциальное уравнение аналитически, можно воспользоваться следующими методами:

Попытаться привести уравнение к стандартному виду, для которого известны методы решения.Использовать теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений.Попробовать найти обобщенные решения посредством использования теории групп симметрии дифференциальных уравнений.

Если аналитическое решение отсутствует, можно решать уравнение численно, например, с помощью методов Эйлера, Рунге-Кутты, метода конечных разностей и других.