Можно с решением? 1) В квадрате ABCD на стороне AB взяли точку K, а н
стороне AD точку M. Оказалось, что угол KCM равен 50◦, а угол CMK равен 65◦. Найдите угол BCK
2) В треугольнике ABC медиана BM и высота AH пересекаются в точке K. Известно, что BK = 5, MK = 1, а угол CBM равен 30◦. Найдите длину высоты AH.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Заметим, что угол KCM равен сумме углов KCB и MCB, а угол CMK равен сумме углов CBK и CBM
Таким образом, KCB + MCB = 50◦ и CBK + CBM = 65◦
Так как сумма углов треугольника равна 180◦, то получаем, что угол BCK = 65◦ - 50◦ = 15◦.

2) Пусть точка пересечения медианы и высоты обозначена как N. Тогда треугольник BMN является прямоугольным, так как медиана делит сторону пополам
Так как угол CBM = 30◦, то угол MBN = 60◦
Так как угол MBN = 60◦, то угол MBK = 30◦ (так как треугольник MBK также прямоугольный)
Теперь рассмотрим треугольник BMK. Из теоремы синусов следует, что BK/sin(30) = MK/sin(BMK). Значит, sin(BMK) = 1/(2BK) = 1/10
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из теоремы синусов для треугольника ABC: AH/sin(B) = AC/sin(ABC)
Так как угол ABC равен 60◦ (как дополнительный к углу MBK), то sin(ABC) = sin(60) = √3/2
Таким образом, получаем, что AH/(√3/2) = BC/sin(30) = 2BC
Отсюда AH = √3BC
Теперь подставляем известные значения: AH = √3*5 = 5√3.

Итак, длина высоты AH равна 5√3.