Так как x, x+2 и x-2 взаимно просты, каждый из них должен быть квадратом другого натурального числа: x = p^2 x+2 = q^2 x-2 = r^2
Теперь система уравнений имеет вид: p^2 = x q^2 = x+2 r^2 = x-2
Отсюда получаем: q^2 - p^2 = 2 r^2 - p^2 = -2
Таким образом, у нас есть два уравнения: (q-p)(q+p) = 2 (r-p)(r+p) = -2
Из уравнений видно, что такие целые решения не существуют, так как 2 - простое число, и кроме 1 и 2 ему нет других множителей. Следовательно, данное уравнение не имеет целочисленных решений в натуральных числах.
Данное уравнение является уравнением Диофантова типа. Для его решения найдем все целочисленные решения.
Из заданного уравнения получаем:
x^3 - 4x = y^2
x(x^2 - 4) = y^2
x(x+2)(x-2) = y^2
Так как x, x+2 и x-2 взаимно просты, каждый из них должен быть квадратом другого натурального числа:
x = p^2
x+2 = q^2
x-2 = r^2
Теперь система уравнений имеет вид:
p^2 = x
q^2 = x+2
r^2 = x-2
Отсюда получаем:
q^2 - p^2 = 2
r^2 - p^2 = -2
Таким образом, у нас есть два уравнения:
(q-p)(q+p) = 2
(r-p)(r+p) = -2
Из уравнений видно, что такие целые решения не существуют, так как 2 - простое число, и кроме 1 и 2 ему нет других множителей. Следовательно, данное уравнение не имеет целочисленных решений в натуральных числах.