Для нахождения производной функции (y = x \cdot \cot(x)) используем правило дифференцирования произведения функций:
[(uv)' = u'v + uv']
где (u = x) и (v = \cot(x)).
[\frac{du}{dx} = 1]
[\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}]
Теперь продифференцируем (v = \cot(x)) с помощью квотиентного правила:
[\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) = \frac{(-\sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x))}{\sin^2(x)} = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin^2(x)}]
Теперь используем формулу для произведения функций:
[(y)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cot(x) + x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2(x)} \right) = \cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}]
Поэтому производная функции (y = x \cdot \cot(x)) равна (\cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}).
Для нахождения производной функции (y = x \cdot \cot(x)) используем правило дифференцирования произведения функций:
[
(uv)' = u'v + uv'
]
где (u = x) и (v = \cot(x)).
Найдем производную функции (u = x):[
Найдем производную функции (v = \cot(x)). Для этого выразим (\cot(x)) через (\cos(x)) и (\sin(x)):\frac{du}{dx} = 1
]
[
\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
]
Теперь продифференцируем (v = \cot(x)) с помощью квотиентного правила:
[
\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) = \frac{(-\sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x))}{\sin^2(x)} = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin^2(x)}
]
Теперь используем формулу для произведения функций:
[
(y)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cot(x) + x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2(x)} \right) = \cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}
]
Поэтому производная функции (y = x \cdot \cot(x)) равна (\cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}).