Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников. Доказать, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямоугольники, на которые разрезан квадрат. Поскольку никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников, то каждая точка квадрата является вершиной либо двух, либо одного прямоугольника.

Посчитаем, сколько вершин каждого прямоугольника участвует в общей сумме. Поскольку каждая вершина прямоугольника участвует дважды (в двух прямоугольниках), то общее количество вершин прямоугольников кратно двум. Следовательно, общее количество вершин прямоугольников является четным числом.

Таким образом, число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.