В треугольник ABC вписана полуокружность, так что ее центр лежит на стороне AC. Стороны треугольника AB=2; BC=4 образуют угол 150 градусов. Найти радиус этой полуокружности. В ответе укажите утроенный радиус.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус полуокружности как r.

Так как центр полуокружности лежит на стороне AC, то угол BAC равен 150 градусов. Также учитываем, что вписанный угол в полуокружность равен половине центрального угла, а значит он равен 75 градусов.

Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике ABC, найдем сторону AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(150)
AC^2 = 2^2 + 4^2 - 2 2 4 cos(150)
AC^2 = 4 + 16 - 16 * (-sqrt(3)/2)
AC^2 = 20 + 8sqrt(3)
AC = sqrt(20 + 8sqrt(3))

Теперь рассмотрим треугольник радиус - точка на стороне AC - центр полуокружности. Этот треугольник прямоугольный, так как радиус перпендикулярен стороне треугольника. Поэтому можем записать:
r^2 = (AC/2)^2 + (AC/2-r)^2
r^2 = (sqrt(20 + 8sqrt(3))/2)^2 + (sqrt(20 + 8sqrt(3))/2 - r)^2
r^2 = (20 + 8sqrt(3))/4 + (20 + 8sqrt(3))/4 - r(sqrt(20 + 8sqrt(3)) + r^2
16r^2 = 20 + 8sqrt(3) + 20 + 8sqrt(3) - 4r(sqrt(20 + 8sqrt(3)))
16r^2 = 40 + 16sqrt(3) - 4r(sqrt(20 + 8sqrt(3)))
4r(sqrt(20 + 8sqrt(3))) = 56 + 16sqrt(3)
r = (56 + 16sqrt(3))/(4sqrt(20 + 8sqrt(3)))
r = (14 + 4sqrt(3))/sqrt(20 + 8sqrt(3))

Теперь можем найти утроенный радиус:
3r = 3*(14 + 4sqrt(3))/sqrt(20 + 8sqrt(3)) = 42 + 12sqrt(3))/sqrt(20 + 8sqrt(3))

Ответ: 42 + 12sqrt(3))/sqrt(20 + 8sqrt(3))