Сколько решений имеет система[tex] {x}^{y} = 9 \\ 324 {}^{ \frac{1}{y} } = 6x[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Перепишем систему в виде:
[ x^y = 9 ]
[ 324^{\frac{1}{y}} = 6x ]

Так как (9 = 3^2) и (324 = 2^2 \cdot 3^4), систему можно переписать в виде:
[ x^y = 3^2 ]
[ (2^2 \cdot 3^4)^{\frac{1}{y}} = 6x ]

Таким образом, имеем:
[ x = 3^{\frac{2}{y}} ]
[ 2^{2/y} \cdot 3^{4/y} = 6x ]

Подставляем значение (x) из первого уравнения во второе:
[ 2^{2/y} \cdot 3^{4/y} = 6 \cdot 3^{\frac{2}{y}} ]

Упрощаем уравнение:
[ 2^{2/y} \cdot 3^{4/y} = 2 \cdot 3^{\frac{6}{y}} ]
[ 2^{2/y-1} \cdot 3^{4/y-6} = 1 ]

Теперь мы можем рассмотреть разные варианты значений (y):

Таким образом, система имеет 4 решения.