Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения |x-4|:

Пусть x - 4 >= 0, тогда |x-4| = x - 4. Подставляем это в уравнение:
(x-4) + x*(x-4) + x + 1 = 0
x - 4 + x^2 - 4x + x + 1 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x1 = 3, x2 = -1

Пусть x - 4 < 0, тогда |x-4| = -(x - 4) = 4 - x. Подставляем это в уравнение:
|4-x| + x|4-x| + x + 1 = 0
(4 - x) + x(4 - x) + x + 1 = 0
4 - x + 4x - x^2 + x + 1 = 0
-x^2 + 5x + 5 = 0
x^2 - 5x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
x3 = 5, x4 = -1

Таким образом, уравнение |x-4|+x*|x-4|+x+1=0 имеет четыре корня: x1 = 3, x2 = -1, x3 = 5, x4 = -1.