Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8, а AB = 3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр окружности, тогда BO - радиус окружности и равен 4 (половина диаметра). Треугольник ACO - равнобедренный, так как AO = CO (так как центр окружности лежит на стороне AC) и BO = 4 (так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу). Тогда у треугольника ACO угол ACO = угол OAC.

По теореме косинусов в треугольнике ACO:
AC^2 = AO^2 + CO^2 - 2 AO CO cos ACO
AC^2 = 8^2 + 4^2 - 2 8 4 cos ACO
AC^2 = 64 + 16 - 64 * cos ACO

По теореме косинусов в треугольнике ABC:
3^2 = AC^2 + 8^2 - 2 AC 8 cos ABC
9 = AC^2 + 64 - 16 AC * cos ABC

Так как угол ACO = угол ABC, то cos ACO = cos ABC, то есть:
64 + 16 - 64 cos ACO = AC^2 + 64 - 16 AC cos ACO
80 - 64 cos ACO = AC^2 + 64 - 16 AC cos ACO
16 = AC^2 - 16 AC cos ACO
16 = AC (AC - 16 cos ACO)
16 = AC (AC - 16 cos ABC)

Из уравнения треугольника ABC:
9 = AC^2 + 64 - 16 AC cos ABC
9 = AC^2 + 64 - 16 AC cos ACO
9 = 80 - 16 AC cos ACO
16 AC cos ACO = 71

Подставляем это обратно в уравнение полученное ранее:
16 = AC (AC - 16 cos ACO)
16 = AC (AC - 71/4)
16 = AC^2 - 71/4 AC
AC^2 - 71/4 * AC - 16 = 0

Решаем квадратное уравнение:
D = (-71/4)^2 - 4 1 (-16) = 5041/16 + 64 = (5041 + 1024) / 16 = 6065 / 16 = 378.125

AC = (71/4 +/- sqrt(D)) / 2 = (71/4 +/- sqrt(378.125)) / 2 = (71/4 +/- 19.454) / 2
AC = (71 + 77.817) / 8 или AC = (71 - 77.817) / 8
AC1 = 148.817 / 8 = 18.6
AC2 = -6.817 / 8 = -0.852

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то AC = 18.6.