Исследовать функцию [tex]y = \frac{x^2-1}{x^2+1}[/tex
1) Найти область определени
2)Определить четность/нечетност
3)Найти интервалы возрастания и убывани
4)Вычислить max и min функци
5)Найти интервалы выпуклости и вогнутости, найти точку перегиб
6)Найти ассимптот
7)Построить график

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Область определения функции: x ≠ ±i, где i - мнимая единица.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Для нахождения интервалов возрастания и убывания найдем производную функции
[tex]y'=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}[/tex
[tex]y'=\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}[/tex
[tex]y'=\frac{4x}{(x^2+1)^2}[/tex
y' = 0, когда x =
Интервалы возрастания: (-∞, 0
Интервалы убывания: (0, +∞)

4) Максимальное значение функции: y(max) = 1, минимальное значение функции: y(min) = -1

5) Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости/вогнутости найдем вторую производную функции
[tex]y''=\frac{(4(x^2+1)^2-4x \cdot 2 \cdot 2(x^2+1))(x^2+1)^2-4x(2x(x^2+1)-(x^2-1)2x )}{(x^2+1)^4}[/tex
[tex]y''=\frac{(4x^3+2x+4)(x^2+1)^2-4x(4x(x^2+1)-2x+2x)}{(x^2+1)^4}[/tex
[tex]y''=\frac{(8x^5+24x^3+20x)}{(x^2+1)^3}[/tex
Точка перегиба: x =
Интервалы выпуклости: (-∞, 0) и (0, +∞
Интервалы вогнутости: нет

6) Горизонтальная асимптота: y = 1

7) График функции будет иметь узкое пространство между асимптотами и пересечет ось y в точке (0,-1).