Пусть x1 и x2 - корни уравнения 2x²+7x+1. Вычислите: x1^5+x2^5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой Виета, которая утверждает, что сумма корней уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Итак, у нас задано уравнение 2x²+7x+1=0. Следовательно, a = 2, b = 7, c = 1.

Сумма корней: x1 + x2 = -b/a = -7/2

Теперь найдем значение x1^2 + x2^2, прежде всего найдем квадрат суммы корней:

(x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2

Так как x1x2 равно с/а, то 2x1x2 = 2 * 1 / 2 = 1

Подставляем значения:

(-7/2)^2 = x1^2 + 2*1 + x2^2

49/4 = x1^2 + 2 + x2^2

Теперь мы можем найти значение x1^5 + x2^5, используя свойство бинома Ньютона:

(x1 + x2)(x1^4 - x1^3x2 + x1^2x2^2 - x1x2^3 + x2^4)

Подставляем известные значения:

(-7/2)(x1^4 - x1^3x2 + 49/4 - x1x2^3 + x2^4) = ?

Так как x1^2 + x2^2 = 49/4, а x1x2 = 1, то:

(-7/2)(x1^4 - x1^3x2 + 49/4 - x1x2^3 + x2^4) = -7/2(x1^4 - x1^3x2 + 49/4 - x2 + x2^4) = -7/2(x1^4 - x1^3 -1 + x2 + x2^4)

Мы можем найти значение x1^4 - x1^3 -1 + x2 + x2^4, используя теорему Виета и теорему о разложении по степеням:

x1^4 + x2^4 = (x1^2 + x2^2)^2 - 2x1x2 = (49/4)^2 - 2*1 = 721/16

Остальные слагаемые можно найти аналогичным образом, затем вычислить итоговое значение.