Решить неравенство:
1-[tex]\frac{4}{x}[/tex]+[tex]\frac{16}{x^{2} }[/tex]-[tex]\frac{64}{x^{3} }[/tex]+...≤[tex]\frac{5x-12}{x}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем общий вид элементов суммы на левой стороне неравенства:
[tex]\frac{4}{x}[/tex]=4x^{-1},
[tex]\frac{16}{x^{2} }[/tex]=16x^{-2},
[tex]\frac{64}{x^{3} }[/tex]=64x^{-3},
...
[tex]\frac{4^{n}}{x^{n} }[/tex]=4^{n}x^{-n}.

Тогда сумма данных элементов будем иметь вид:
1+4x^{-1}+16x^{-2}+...+4^{n}x^{-n}+...

Заметим, что сумма арифметической прогрессии равна:
S = a*(1-r^(n))/(1-r)

где a - первый элемент прогрессии (1 в данном случае), r - знаменатель прогрессии (4 в данном случае), n - количество элементов.

Применим эту формулу
S=[tex]\frac{1(1-4^{m})}{1-4}[/tex]=[tex]\frac{1-4^{m}}{-3}[/tex]=[tex]\frac{4^{m}-1}{3}[/tex],

где m - бесконечность.

Теперь вернемся к исходному неравенству:
[tex]\frac{4^{m}-1}{3}[/tex]≤[tex]\frac{5x-12}{x}[/tex]
4^{m}-1≤3[tex]\frac{5x-12}{x}[/tex]
4^{m}≤3[tex]\frac{5x-12}{x}+1[/tex]
4^{m}≤3([tex]\frac{5x}{x}-\frac{12}{x}[/tex])+1
4^{m}≤15-312
4^{m}≤-21,

что невозможно. Значит, исходное неравенство не имеет решений.