В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ 3х+2у-12=0, высоты ВМ х+2у-4=0, высоты АМ 4х+у-6=0, где М-точка пересечения высот. Найти уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти уравнения сторон AC и BC, нам нужно найти координаты точек A, B и C.

Поскольку точка М - точка пересечения высот, то она является ортоцентром треугольника ABC. Значит, высоты пересекаются в одной точке, а следовательно точка М является центром описанной окружности треугольника ABC.

Используя уравнения сторон и высот, можем найти координаты точек A, B и C следующим образом:

Найдем координаты точки M, решив систему уравнений высот:
x + 2y - 4 = 0
4x + y - 6 = 0
Из системы получаем, что x = 2, y = 1. То есть M(2, 1).

найдем координатами точек A и B, используя уравнения сторон:
Для точки A подставляем x=2, y=1: 32 + 21 - 12 = 6 + 2 - 12 = -4. То есть A(2, 1).
Для точки B подставляем x=2, y=1: 12 и 4 (с точкой М): x+2y-4=2+2-4=0. То есть B(2, 1).

Таким образом, точки A, B и M имеют координаты (2, 1).

Ортоцентр треугольника - точка пересечения высот, то есть M(2, 1) по условию. Таким образом, точка C имеет координаты (2, -1).
найдем уравнения сторон AC и BC:

Сторона AC: y = (y1-y2)/(x1-x2) (x-x1) + y1
Учитывая, что A(2, 1), C(2, -1):
AC: y = (1-(-1))/(2-2) (x-2) + 1
AC: y = 0*x + 1
AC: y = 1

Сторона BC уже найдена ранее: x+2y-4 = 0.

Высота СМ. Так как точка М - центр окружности, необходимо провести перпендикуляр к стороне AC через точку M. Получаем уравнение высоты СМ:

(1 - (-1))/(0 - 2) (x - 2) + 1
2/-2 (x - 2) + 1 = 0
-1 * x + 2 + 1 = 0

x + 3 = 0

Итак, уравнение стороны BC: x + 2y - 4 = 0, стороны AC: y = 1, высоты СМ: -x + 3 = 0.