На отрезке DK — 20 см отметили точку А, такую, что DA —17 см, и точку В, такую, что ВК—16 см. Найдите длину отрезка АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.

В треугольнике DAK:
DK^2 = DA^2 + AK^2 - 2DAAKcos(∠DAK)
20^2 = 17^2 + AK^2 - 217AKcos(∠DAK)
AK^2 - 34AK*cos(∠DAK) + 39 = 0

В треугольнике BCK:
CK^2 = BC^2 + BK^2 - 2BCBKcos(∠BCK)
20^2 = BC^2 + 16^2 - 2BC16cos(∠BCK)
BC^2 - 32BC*cos(∠BCK) + 144 = 0

Если перенести данные треугольники на общую прямую со стрелочками {DA//BC на [К]}, сосениенными справа, точку В, расстояние ДА со стороны Д — отностидительно больше, чем DK.

Следовательно, АК должно быть больше, чем ВС (т.к. косинус < 0), иначе ВС было бы больше ДА.

Т.е. ВС<17, AK>16, ВК>16+17=33 см

Выразим AK. AK = 17 - AKcos(∠DAK); 39 = AK^2+AK^2-34AK+34AKcos(∠DAK)

34AK^2 - 68AK*cos(∠DAK) + 39 = 0

Тогда по теореме Виета системы и ещё учитывая CK^2+CB^2 = B(BK - BC)^2:
AKBC = 39; B(BK-BC) = 2020 = 400

Найдем значения AI и BI из решения системы:
AK = 13, BC = 3, AI=3, BI=26

AV = AI + BC = 3 + 3 = 6
Все в см.