Найти общее решение дифференциального уравнения
(xy^2+x)dx-(x^2y+y)dy=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение является уравнением вида M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, где M(x,y) = xy^2+x и N(x,y) = -x^2y-y.

Убедимся, что данное уравнение является уравнением, точно интегрируемым.

Для этого посчитаем частные производные функций M и N по x и по y:

∂M/∂y = 2xy
∂N/∂x = -2xy

Так как ∂M/∂y = ∂N/∂x, то уравнение является точно интегрируемым.

Теперь найдем общее решение дифференциального уравнения, используя метод разделения переменных.

(xy^2+x)dx - (x^2y+y)dy = 0
(xy^2+x)dx = (x^2y+y)dy
(dy/dx) = (xy^2+x)/(x^2y+y)

Выделим общий множитель в числятеле и знаменателе дроби:

(dy/dx) = (x(y^2+1))/(y(x^2+1))

Разделим дробь на числитель и знаменатель:

(1/(y(y^2+1)))dy = (1/(x(x^2+1)))dx

Интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/(y(y^2+1)))dy = ∫(1/(x(x^2+1)))dx

ln|y| - (1/2)ln|y^2+1| = ln|x| - (1/2)ln|x^2+1| + C

ln|y/(y^2+1)^(1/2)| = ln|x/(x^2+1)^(1/2)| + C

y/(y^2+1)^(1/2) = C*x/(x^2+1)^(1/2)

где C - произвольная постоянная.