Cos4x-cos^2х=1 Решить

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические тождества.

Заметим, что cos^2(x) = (cos(x))^2.

Перепишем уравнение в следующем виде: cos(4x) - (cos(x))^2 = 1.

Используем тождество для разности косинусов: cos(4x) = 2(cos^2(2x) - 1).

Подставим это в уравнение: 2(cos^2(2x) - 1) - (cos(x))^2 = 1.

Далее, заменим cos(2x) на t: 2(t^2 - 1) - (2t)^2 = 1.

Раскроем скобки и упростим уравнение: 2t^2 - 2 - 4t^2 = 1.

Переносим все на одну сторону: -2t^2 - 2 = 1.

Далее у нас получится квадратное уравнение: -2t^2 - 2 - 1 = 0.

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта: D = 4 + 8 = 12.

Найдем корни уравнения: t1 = (-(-2) + sqrt(12)) / -4 ≈ -0.7746, t2 = (-(-2) - sqrt(12)) / -4 ≈ 1.5246.

Подставляем обратно cos(2x) в t: cos(2x) = -0.7746 и cos(2x) = 1.5246.

Теперь находим значения x: 2x = arccos(-0.7746) и 2x = arccos(1.5246).

Наконец, получаем решение уравнения: x = arccos(-0.7746) / 2 ≈ 1.3204 и x = arccos(1.5246) / 2 ≈ -0.2436.