2sinx+cosx=2 решить уравнение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения 2sinx + cosx = 2 мы можем воспользоваться заменой: sinx = √(1 - cos^2(x)). Подставим это в данное уравнение:

2√(1 - cos^2(x)) + cosx = 2

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(2√(1 - cos^2(x)) + cosx)^2 = 2^2
(2√(1 - cos^2(x))^2 + 2(2√(1 - cos^2(x))cosx + cos^2(x) = 4
4(1 - cos^2(x)) + 4cosx√(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) = 4
4 - 4cos^2(x) + 4cosx√(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) = 4

Упростим уравнение:

4 - 3cos^2(x) + 4cosx√(1 - cos^2(x)) = 4
-3cos^2(x) + 4cosx√(1 - cos^2(x)) = 0
-3cosx(cosx - 4√(1 - cos^2(x))) = 0

Отсюда получаем два решения:

1) cosx = 0. Тогда sinx = ±1. Решение: x = π/2 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk,
2) cosx = 4√(1 - cos^2(x)). Это уравнение дает дополнительные альтернативные углы.