Доказать:
1)(16ⁿ - 1) кратно 15
2)(9ᵇ + 1) кратно 10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Докажем по индукции.
База: при n = 1 получаем 16ⁿ - 1 = 16 - 1 = 15, что кратно 15.
Предположение индукции: пусть 16ⁿ - 1 кратно 15.
Шаг индукции:
16^(n+1) - 1 = 16 16ⁿ - 1 =
= (15 + 1) 16ⁿ - 1 =
= 15 16ⁿ + 16ⁿ - 1 =
= 15 16ⁿ + 16ⁿ - 1 - 1 + 1 =
= 15 16ⁿ + (16ⁿ - 1) + 1.
По предположению индукции 16ⁿ - 1 кратно 15, значит 15 16ⁿ + (16ⁿ - 1) кратно 15.
Следовательно, 16^(n+1) - 1 кратно 15 для всех натуральных n.

2) Докажем по индукции.
База: при b = 1 получаем 9ᵇ + 1 = 9 + 1 = 10, что кратно 10.
Предположение индукции: пусть 9ᵇ + 1 кратно 10.
Шаг индукции:
9^(b+1) + 1 = 9 9ᵇ + 1 =
= (10 - 1) 9ᵇ + 1 =
= 10 9ᵇ - 9ᵇ + 1 + 9ᵇ =
= 10 9ᵇ - 9ᵇ + (9ᵇ + 1) =
= 10 9ᵇ - 9ᵇ + (9ᵇ + 1 - 1 + 1).
По предположению индукции 9ᵇ + 1 кратно 10, значит 10 9ᵇ - 9ᵇ + (9ᵇ + 1) кратно 10.
Следовательно, 9^(b+1) + 1 кратно 10 для всех натуральных b.