Найти все m и n натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: 1! + 2! + 3! + ... + n! = m^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем m.

1! + 2! + 3! + ... + n! = m^2

Заметим, что для n >= 4, n! будет содержать в себе множитель 4!, который равен 24. Таким образом, при n >= 4 каждое последующее число в сумме будет содержать множитель, больший чем 10, что будет означать, что сумма будет содержать в себе число, не оканчивающееся на ноль.

Таким образом проведем перебор значений n от 1 до 3:

1! = 1
1! + 2! = 3
1! + 2! + 3! = 9

Таким образом, для n = 3 сумма факториалов равна 9, что является полным квадратом 3^2 = 9.

Итак, одно решение уравнения: n = 3, m = 3.

Других натуральных чисел m и n, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.