Постройте график: [tex]y=\frac{(x^{2}+5x+6)( x^{2} -3x+2)}{x^{2}+x-6 }[/tex] и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y.

Для этого разложим исходное уравнение на множители:

[tex]y=\frac{(x^{2}+5x+6)( x^{2} -3x+2)}{x^{2}+x-6 }[/tex]

[tex]y=\frac{(x+3)(x+2)(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}[/tex]

[tex]y=(x+2)(x-1)[/tex]

Получили функцию y=y(x) = (x+2)(x-1). Это парабола, проходящая через точки (0,-2) и (1,0).

Теперь определим при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Это происходит в том случае, когда прямая пересекает параболу касательно. То есть, когда у уравнения параболы и прямой просто одинаковым.

Решим уравнение (x+2)(x-1)=m:

$x^2 + x -2 = m$

Найдем дискриминант этого уравнения: D = 1 + 8 = 9.

Таким образом, уравнение x^2 + x -2 = m имеет два действительных корня, если m < -2 и m > 3. Если -2 <= m <= 3, то уравнение имеет ровно один корень.

Итак, прямая y=m имеет с графиком только в одной общей точке при -2 <= m <= 3.

Теперь построим график функции y=x^2−5x−6.