найти общее решение диф уравнения
y''+2y'+y=4x³+24x²+22x-4
найти y*

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения нужно решить характеристическое уравнение:

r^2 + 2r + 1 = 0

Дискриминант этого уравнения равен 0, поэтому у уравнения есть один корень r = -1, который имеет кратность 2.

Общее решение хомогенного уравнения имеет вид: y_h = C1 e^(-x) + C2 x * e^(-x), где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D. Тогда:

y'_p = 3Ax^2 + 2Bx + C
y''_p = 6Ax + 2B

Подставляем y_p в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

6A + 2B + 3(2Ax^2 + 2Bx + C) + 3(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = 4x^3 + 24x^2 + 22x - 4

Получаем систему уравнений, решая которую, находим значения A, B, C и D. Подставляем их в частное решение y_p.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: y = C1 e^(-x) + C2 x * e^(-x) + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D, где A, B, C, D - найденные константы.