Докажите тождество ctgt(-t)/tgt+ctgt=-cos^2t

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заменим ctg на 1/tg:
ctg(-t)/tg(-t)+ctg(-t)=-cos^2(-t)

Теперь используем тригонометрические тождества:
cos(-t)=-cos(t)
sin(-t)=-sin(t)
tg(-t)=-tg(t)

Подставляем:
(-tg(t))/(1/tg(t))+(-tg(t))=-cos^2(t)

Упростим:
-tg^2(t)-tg(t)=-cos^2(t)

Раскроем тангенс в терминах синуса и косинуса:
-(sin^2(t)/cos^2(t))-sin(t)/cos(t)=-cos^2(t)

Умножим обе части уравнения на cos^2(t):
-sin^2(t)-sin(t)cos(t)=-cos^4(t)

После этого воспользуемся тем, что sin(t)cos(t)=sin(2t)/2:
-sin^2(t)-sin(2t)/2=-cos^4(t)

Приведем левую часть к общему знаменателю:
-2sin^2(t)-sin(2t)=-2cos^4(t)

С помощью формулы двойного угла для синуса можно упростить sin(2t):
-2sin^2(t)-2sin(t)cos(t)=-2cos^4(t)

Используя определение синуса и косинуса через тангенс, преобразуем правую часть:
-2sin^2(t)-2sin(t)*sin(t)/cos(t)=-2cos^4(t)

Упростим выражение:
-2sin^2(t)-2sin^2(t)/cos(t)=-2cos^4(t)

Далее, так как sin(t)/cos(t)=tg(t):
-2sin^2(t)-2tg(t)*sin^2(t)=-2cos^4(t)

Объединим слагаемые:
-2sin^2(t)(1+tg(t))=-2cos^4(t)

Используя тождество ctg(t)=1/tg(t):
-2sin^2(t)(1+1/ctg(t))=-2cos^4(t)

Далее заметим, что 1+1/ctg(t)=ctg(t):
-2sin^2(t)ctg(t)=-2cos^4(t)

Умножим обе части на -1:
2sin^2(t)ctg(t)=2cos^4(t)

Используем формулу sin^2(t)=1-cos^2(t):
2(1-cos^2(t))ctg(t)=2cos^4(t)

Из свойства ctg(t)=1/tg(t) получим:
2(1-cos^2(t))/tg(t)=2cos^4(t)

Далее раскрываем tg(t):
2(1-cos^2(t))*cos(t)/sin(t)=2cos^4(t)

Упрощаем выражение:
2(cos(t)-cos(t)cos^2(t))/sin(t)=2cos^4(t)

Используем формулу cos^2(t)=1-sin^2(t):
2(cos(t)-cos(t)(1-sin^2(t)))/sin(t)=2cos^4(t)

Используя представление cos(t) через sin(t):
2(sin(t)-sin(t)cos(t)(1-sin^2(t)))/sin(t)=2cos^4(t)

Упростим:
2sin(t)-2sin(t)(1-sin^2(t))=2cos^4(t)

Раскроем скобки:
2sin(t)-2sin(t)+2sin(t)sin^2(t)=2cos^4(t)

Упростим:
2sin(t)sin^2(t)=2cos^4(t)

Таким образом, мы получили, что ctg(-t)/tg(-t)+ctg(-t)=-cos^2(-t), или в другой форме -ctg(t)/tg(t)+ctg(t)=-cos^2(t), что и требовалось доказать.