Вычислите площадь фигуры,ограниченной графиками функции у=4-x^2 и y=2+|x|

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных функций. После нахождения точек пересечения, график y=2+|x| будет иметь следующий вид:

Уравнение имеет два решения:

Теперь необходимо найти соответствующие значения функций y для этих точек:

При x = 1:
y = 4 - 1^2 = 3
y = 2 + |1| = 3

При x = -2:
y = 4 - (-2)^2 = 0
y = 2 + |-2| = 4

Таким образом, у фигуры есть две вершины: (1, 3) и (-2, 4).

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=4-x^2 и y=2+|x|, вычисляется путем нахождения площади между этими двумя функциями на интервалах [-2, 1] и [1, 2].

Для интервала [-2, 1]:
Площадь = ∫(4 - x^2 - (2 + |x|))dx = ∫(2 - x^2 - |x|)dx
= ∫(2 - x^2 - (-x))dx = ∫(2 - x^2 + x)dx = 2x - (x^3 / 3) - (x^2 / 2)|[-2, 1]
= 21 - (1^3 / 3) - (1^2 / 2) - (2(-2) - ((-2)^3 / 3) - ((-2)^2 / 2))
= 2 - (1 / 3) - (1 / 2) - 4 + (8 / 3) - 2
= 2 - (1 / 3) - (1 / 2) - 4 + (8 / 3) - 2
= - (1 / 3) - (1 / 2) + (8 / 3) - 4

Для интервала [1, 2]:
Площадь = ∫(4 - x^2 - (2 + |x|))dx = ∫(2 - x^2 - |x|)dx
= ∫(2 - x^2 - x)dx = 2x - (x^3 / 3) - (x^2 / 2)|[1, 2]
= 2*2 - (2^3 / 3) - (2^2 / 2) - (2 - (1^3 / 3) - (1^2 / 2))
= 4 - (8 / 3) - 2 - 2 + (1 / 3) - (1 / 2)
= 4 - (8 / 3) - 2 - 2 + (1 / 3) - (1 / 2)

Общая площадь фигуры:
Площадь = - (1 / 3) - (1 / 2) + (8 / 3) - 4 + 4 - (8 / 3) - 2 - 2 + (1 / 3) - (1 / 2)
Площадь = -8 + (8 / 3) - (8 / 3) = -8

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=4-x^2 и y=2+|x|, равна -8 (единицам площади).