Интеграл dx/(x^2+2x-3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла, мы сначала раскладываем знаменатель на множители:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Теперь разделим исходную функцию на две простые дроби:

dx/(x^2 + 2x - 3) = A/(x + 3) + B/(x - 1)

Умножим обе части на x^2 + 2x - 3, чтобы сократить знаменатель:

1 = A(x - 1) + B(x + 3)

1 = Ax - A + Bx + 3B

1 = (A + B)x - A + 3B

Теперь сравниваем коэффициенты при x:

A + B = 0
-A + 3B = 1

Отсюда получаем систему уравнений:

A + B = 0

Из первого уравнения находим A = - B. Подставляем это во второе уравнение:

-(-B) + 3B = 1
B + 3B = 1
4B = 1
B = 1/4

Теперь найдем A:

A = - B
A = - 1/4

Итак, разложив исходную функцию на простые дроби, получим:

dx/(x^2 + 2x - 3) = - 1/4/(x + 3) + 1/4/(x - 1)

Теперь можем вычислить итеграл:

∫dx/(x^2+2x-3) = - 1/4 ln|x + 3| + 1/4 ln|x - 1| + C

где C - постоянная интегрирования.