Найдите все значения n (n принадлежит N), при которых значение функции f(n)=(n^3-3n+4)/(n-1) является: а) целым числомб) натуральным числом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Чтобы значение функции f(n) было целым числом, необходимо, чтобы (n^3 - 3n + 4) без остатка делилось на (n - 1). Это можно представить в виде равенства:
n^3 - 3n + 4 = k*(n - 1),
где k - целое число.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
n^3 - 3n + 4 = kn - k,
n^3 - (3 + k)n + 4 + k = 0.

Так как n^3 - (3 + k)n + 4 + k = 0, то n дает остаток, равный 4 + k, при делении на n^2 - 3 - k. Следовательно, n^2 - 3 - k должно равняться 0.

n^2 - 3 - k = 0,
n^2 = 3 + k.

Рассмотрим все натуральные числа n, при которых n^2 = 3 + k будет выполняться.
Единственным подходящим значением будет n = 2, так как 2^2 = 4 = 3 + 1.

Значит, единственным значением n, при котором f(n) является целым числом, будет n = 2.

б) Для того чтобы значение функции f(n) было натуральным числом, необходимо, чтобы (n^3 - 3n + 4) без остатка делилось на (n - 1) и результат был больше нуля.

По предыдущим выкладкам мы уже знаем, что n = 2 удовлетворяет условию, но приводит к f(2) = 9 (не является натуральным числом).

Следовательно, нет значений n, при которых значение функции f(n) равно натуральному числу.