Решить уравнение y-xy'=x+yy'

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения нужно использовать метод разделения переменных.

Дано уравнение:
y - xy' = x + yy'

Выразим y' через y:
y - xy' = x + yy'
y - x(dy/dx) = x + y(dy/dx)
y - x(dy/dx) = x + y(dy/dx)
y - y = xd/dx - x(dy/dx)
y' = (y - x)/(1 + x)

Теперь выражаем дифференциал:
dy/(y-x) = dx/(1+x)

Интегрируем обе стороны:
∫(1/(y-x))dy = ∫(1/(1+x))dx
ln|y-x| = ln|1+x| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Применяем экспоненту к обеим сторонам:
e^ln|y-x| = e^(ln|1+x| + C)
|y-x| = e^(ln|1+x|) e^C
|y-x| = e^C |1+x|

Учитывая, что е^C это так же произвольная постоянная, заменим её на новую C:
|y-x| = C * |1+x|

Теперь рассмотрим два случая:

y - x > 0:
y - x = C(1+x)

y - x < 0:
-(y - x) = C(1 + x)

В обоих случаях можно решить уравнение относительно y.