Для нахождения производной функции ( y = \frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\arcsin x) - \arcsin x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\arccos x)}}{{(\arccos x)^2}} ]
Нам нужно найти производные функций (\arcsin x) и (\arccos x). По формулам дифференцирования обратных тригонометрических функций мы знаем, что:
[ \frac{{d}}{{dx}}(\arcsin x) = \frac{1}{{\sqrt{1 - x^2}}} ][ \frac{{d}}{{dx}}(\arccos x) = \frac{-1}{{\sqrt{1 - x^2}}} ]
Подставим эти значения в формулу для производной частного:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x \cdot \frac{1}{{\sqrt{1 - x^2}}} - \arcsin x \cdot \frac{-1}{{\sqrt{1 - x^2}}}}}{{(\arccos x)^2}} ]
Упростим выражение:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x}}{{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\arcsin x}{{\sqrt{1 - x^2}} (\arccos x)^2} ]
Таким образом, производная функции ( y = \frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}} ) равна:
[ \frac{{\arccos x}}{{\sqrt{1 - x^2}}} + \frac{{\arcsin x}}{{(\arccos x)^2 \sqrt{1 - x^2}}} ]
Для нахождения производной функции ( y = \frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\arcsin x) - \arcsin x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\arccos x)}}{{(\arccos x)^2}} ]
Нам нужно найти производные функций (\arcsin x) и (\arccos x). По формулам дифференцирования обратных тригонометрических функций мы знаем, что:
[ \frac{{d}}{{dx}}(\arcsin x) = \frac{1}{{\sqrt{1 - x^2}}} ]
[ \frac{{d}}{{dx}}(\arccos x) = \frac{-1}{{\sqrt{1 - x^2}}} ]
Подставим эти значения в формулу для производной частного:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x \cdot \frac{1}{{\sqrt{1 - x^2}}} - \arcsin x \cdot \frac{-1}{{\sqrt{1 - x^2}}}}}{{(\arccos x)^2}} ]
Упростим выражение:
[ \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}}\right) = \frac{{\arccos x}}{{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\arcsin x}{{\sqrt{1 - x^2}} (\arccos x)^2} ]
Таким образом, производная функции ( y = \frac{{\arcsin x}}{{\arccos x}} ) равна:
[ \frac{{\arccos x}}{{\sqrt{1 - x^2}}} + \frac{{\arcsin x}}{{(\arccos x)^2 \sqrt{1 - x^2}}} ]