[tex] \int\ \frac{dx}{x} { \sqrt{1-ln(x)} } \, [/tex]Решить неопределённый интеграл, проверив дифференцированием.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала решим данный интеграл.

Имеем интеграл

[ \int\ \frac{dx}{x} { \sqrt{1-ln(x)} } ]

Сделаем замену переменной: (u = 1 - \ln(x)), тогда (du = -\frac{1}{x}dx ).

Интеграл примет вид:

[ -\int\ \sqrt{u} \, du]

[ = -\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C]

Подставим обратно выражение для (u):

[ = -\frac{2}{3}(1 - \ln(x))^\frac{3}{2} + C]

Вычислим производную от полученного выражения для подтверждения верности решения:

[\frac{d}{dx}(-\frac{2}{3}(1 - \ln(x))^\frac{3}{2}) =]
[\frac{2}{3}\frac{3}{2}(1 - \ln(x))^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{x} =]
[ = -\frac{1}{x}\sqrt{1 - \ln(x)}]

Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, неопределённый интеграл был решен верно.