Решите уравнение sin^3x+2sin^2xcosx-5sinxcos^2x-6cos^3x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно представить в виде уравнения синусов и косинусов с использованием тригонометрических тождеств:

sin^3x + 2sin^2xcosx - 5sinxcos^2x - 6cos^3x = 0
sin^2x(sin x + 2cos x) - 5sin x cos^2x - 6cos^3x = 0
sin x (sin x + 2cos x)(sin x - 5cos^2x) = 0

Теперь мы имеем 3 уравнения, решая каждое из которых, мы найдем значения x:

sin x = 0
x = πk, где k - целое число

sin x + 2cos x = 0
sin x = -2cos x
(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1
(-2cos x)^2 + (cos x)^2 = 1
4(cos x)^2 + (cos x)^2 = 1
5(cos x)^2 = 1
cos x = ±1/√5
x = arccos(±1/√5) + 2πk, где k - целое число

sin x - 5cos^2x = 0
sin x = 5(cos x)^2

Подставляем sin x = 5(cos x)^2 в уравнение (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 и решаем полученное уравнение:

(5cos x)^2 + (cos x)^2 = 1
25(cos x)^2 + (cos x)^2 = 1
26(cos x)^2 = 1
cos x = ±1/√26
x = arccos(±1/√26) + 2πk, где k - целое число

Таким образом, уравнение sin^3x + 2sin^2xcosx - 5sinxcos^2x - 6cos^3x = 0 имеет бесконечное количество решений, которые можно записать в виде x = πk, arccos(±1/√5) + 2πk, arccos(±1/√26) + 2πk, где k - целое число.