Определенный Интеграл от x*sinx*dx (верхняя граница- 4, нижняя- 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления определенного интеграла от (x \cdot \sin(x) \, dx) требуется использовать метод интегрирования по частям.

Используя формулу интегрирования по частям (\int u \, dv = uv - \int v \, du), где
(u = x), (dv = \sin(x) \, dx),
(du = dx), (v = -\cos(x)), получаем:
[\int x \cdot \sin(x) \, dx = -x \cdot \cos(x) - \int (-\cos(x)) \, dx = -x \cdot \cos(x) + \int \cos(x) \, dx]

Интегрируем (\int \cos(x) \, dx) и получаем (\sin(x)).

Теперь вычисляем определенный интеграл от (x \cdot \sin(x)) от 0 до 4:
[-x \cdot \cos(x) + \sin(x) \Big|_0^4 = -(4 \cdot \cos(4) - \sin(4)) - (0 \cdot \cos(0) - \sin(0))]
[-4 \cdot \cos(4) + \sin(4) - 0 + 0 = -4 \cdot \cos(4) + \sin(4)]

Таким образом, значение определенного интеграла от (x \cdot \sin(x)) от 0 до 4 равно (-4 \cdot \cos(4) + \sin(4)).