А) Докажите, что если квадратный трёхчлен не имеет корней,
то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов первой
степени.
б) Верно ли, что если многочлен четвёртой степени не имеет корней,
то его нельзя разложить на множители (т. е. представить в виде произведения
двух многочленов меньшей степени)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Предположим, что квадратный трёхчлен ( ax^2 + bx + c ) не имеет корней. Тогда дискриминант этого трёхчлена ( D = b^2 - 4ac ) меньше нуля. Если бы этот трёхчлен можно было представить в виде произведения двух многочленов первой степени, то получили бы, что ( ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q) ), где многочлены ( mx + n ) и ( px + q ) не имеют корней. Домножим два таких одночлена и сравним коэффициент перед ( x^2 ) с коэффициентом перед ( x^2 ) в исходном квадратном трёхчлене. Мы увидим, что это противоречие, так как коэффициенты при ( x^2 ) не будут совпадать. Следовательно, если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов первой степени.

б) Нет, это утверждение неверно. Многочлен четвёртой степени, не имеющий корней, все равно можно разложить на множители. Например, многочлен ( x^4 + 1 ) не имеет действительных корней, но его можно представить в виде произведения многочленов второй степени ( (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) ).