Дар треугольник, у которого все стороны меньше единицы. Докажите, что существует содержащий его равнобедренный треугольник, все стороны которого так же меньше единицы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, AC и BC, все меньше единицы. Рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне BC, который пересекает сторону AC в точке M. Так как треугольник ABC меньше единичного треугольника, то точка M находится ближе к вершине A, чем к середине стороны AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Он равнобедренный, так как AM = BM (по определению серединного перпендикуляра), и его стороны также меньше единицы (так как сторона AB меньше единицы). Таким образом, треугольник ABM является искомым равнобедренным треугольником, содержащим исходный треугольник ABC.