Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции
f(x)=(5^x-65)(5^x+15)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти уравнение горизонтальной касательной, нужно найти производную функции f(x) и найти точку, в которой производная равна нулю.

f'(x) = (ln(5) 5^x)(5^x + 15) + (5^x - 65)(ln(5) 5^x) = 0

Приравняем производную к нулю и найдем точку, в которой она равна нулю:

(ln(5) 5^x)(5^x + 15) + (5^x - 65)(ln(5) 5^x) = 0
ln(5) 5^x(5^x + 15 + 5^x - 65) = 0
ln(5) 5^x(2 5^x - 50) = 0
ln(5) 5^x 2(5^x - 25) = 0
5^x 2(5^x - 25) = 0
5^x (2 5^x - 50) = 0
5^x = 0 or 2 * 5^x - 50 = 0

Первое уравнение 5^x = 0 не имеет решения, так как 5^x для любого x будет всегда положительным числом. Решим второе уравнение:

2 5^x - 50 = 0
2 5^x = 50
5^x = 25
x = 2

Теперь найдем значение функции f(x) в точке x = 2:

f(2) = (5^2 - 65)(5^2 + 15)
f(2) = (25 - 65)(25 + 15)
f(2) = (-40)(40)
f(2) = -1600

Таким образом, уравнение горизонтальной касательной к графику функции f(x) в точке x = 2 будет y = -1600.