Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4·x²; y=x²/9; y=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо найти точки их пересечения.

Найдем точки пересечения линий y=4·x² и y=x²/9:
4·x² = x²/9
36·x² = x²
35·x² = 0
x = 0

Подставляя x=0 в уравнение y=4·x², получаем y=0.

Значит, точка пересечения для первых двух линий равна (0,0).

Найдем точки пересечения линий y=4·x² и y=2:
4·x² = 2
x² = 2/4
x = ±√(2/4)
x = ±1/√2

Подставляя x=±1/√2 в уравнение y=4·x², получаем y=2.

Значит, точки пересечения для первой и третьей линий равны (1/√2,2) и (-1/√2,2).

Теперь вычислим площадь фигуры между этими линиями:

Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,
где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, a и b - точки пересечения.

∫[0,1/√2] (4·x² - x²/9) dx + ∫[-1/√2,0] (4·x² - 2) dx

Вычисляем интегралы и получаем:

(35/36)√2 + 2√2 + 2/3 - (35/36)√2 - 2√2 - 2/3 = 2/3

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=4·x²; y=x²/9 и y=2, равна 2/3.