Докажите тождество
1) (cosa-cosb)^2 + (sina-sinb)^2=4sin^2 a-b/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Начнем с левой части тождества:
(cos a - cos b)^2 + (sin a - sin b)^2
= cos^2 a - 2cos a cos b + cos^2 b + sin^2 a - 2sin a sin b + sin^2 b
= cos^2 a + sin^2 a + cos^2 b + sin^2 b - 2(cos a cos b + sin a sin b)
= 1 + 1 - 2(cos a cos b + sin a sin b) т.к. cos^2 x + sin^2 x = 1
= 2 - 2(cos a cos b + sin a sin b)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса суммы:
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

Таким образом,
2 - 2(cos a cos b + sin a sin b) = 2 - 2 * cos(a - b) = 2(1 - cos(a - b))

Наконец, воспользуемся формулой половинного угла:
cos 2x = 1 - 2 * sin^2 x

Таким образом, 2(1 - cos(a - b)) = 4 sin^2 (a - b / 2)

Таким образом, левая и правая части тождества равны, что и требовалось доказать.