Решите предел в пределе -5 не входит в корень
[tex]\lim_{x \to \-5} \frac{\sqrt{5-4x}-5 }{x^{2}-25 }[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного предела можно использовать алгебраические преобразования и свойства пределов функций.

Для начала преобразуем выражение:
[tex]\frac{\sqrt{5-4x}-5 }{x^{2}-25 }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{5-4x}-5 }{(x+5)(x-5) }[/tex]

Далее выразим корень в виде степени:
[tex]= \frac{(5-4x)^{\frac{1}{2}}-5 }{(x+5)(x-5) }[/tex]

Разложим корень на множители по формуле (a-b)(a+b):
[tex]= \frac{(5-(4x)^{\frac{1}{2}})(5+(4x)^{\frac{1}{2}})-5 (x+5)(x-5) }{(x+5)(x-5) }[/tex]

Упростим числитель:
[tex]= \frac{5-(4x)^{\frac{1}{2}}-(4x)^{\frac{1}{2}}-20x-5 (x+5)(x-5) }{(x+5)(x-5) }[/tex]

Сократим подобные слагаемые в числителе:
[tex]= \frac{5-20x-5 (x+5)(x-5) }{(x+5)(x-5) }[/tex]

Раскроем скобки в числителе:
[tex]= \frac{5-20x-5(x^2-25)}{(x+5)(x-5)}[/tex]

Сократим числитель:
[tex]= \frac{-5x^2-100x+130}{(x+5)(x-5)}[/tex]

Разложим числитель на множители:
[tex]= \frac{-5(x+2)(x-13)}{(x+5)(x-5)}[/tex]

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
[tex]= \frac{-5(x+2)}{x-5}[/tex]

Теперь можем вычислить предел при x -> -5:
[tex]\lim{x \to -5} \frac{-5(x+2)}{x-5}[/tex] = [tex]\lim{x \to -5} \frac{-5(-5+2)}{-5-5}[/tex] = [tex]\frac{15}{-10}[/tex] = -1.5

Таким образом, предел данной функции при x -> -5 равен -1.5.