Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями с помощью двойного интеграла: y=√x, y=x³

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади плоской области D, ограниченной линиями y=√x и y=x³, мы можем воспользоваться следующим двойным интегралом:

S = ∫[a, b]∫[g(x), h(x)] dy dx

Где a и b - это границы по x-оси, а g(x) и h(x) - это уравнения границ области D по y в зависимости от x.

Для данной области D у нас есть следующее:

Границы по x: a = 0, b = 1
Границы по y: g(x) = x³, h(x) = √x

Таким образом, площадь плоской области D будет равна:

S = ∫[0, 1]∫[x³, √x] dy dx

Вычислим данный двойной интеграл:

S = ∫[0, 1] ( √x - x³ ) dx
S = ∫[0, 1] ( x^(1/2) - x^3 ) dx
S = [ (2/3)x^(3/2) - (1/4)x^4 ]| from 0 to 1
S = (2/3 - 1/4) - (0 - 0)
S = 1/6

Итак, площадь плоской области D, ограниченной линиями y=√x и y=x³, равна 1/6.