Решите систему уравнений х^2+у^2=20; ху-6=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из второго уравнения выразим y через x:

xy = 6
y = 6/x

Подставим это выражение в первое уравнение:

x^2 + (6/x)^2 = 20
x^2 + 36/x^2 = 20

Умножим обе части уравнения на x^2:

x^4 + 36 = 20x^2
x^4 - 20x^2 + 36 = 0

Это уравнение является квадратным относительно x^2:

Для упрощения обозначим x^2 за z:

z^2 - 20z + 36 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-20)^2 - 4136 = 400 - 144 = 256

z1,2 = (20 ± √256)/2 = (20 ± 16)/2

z1 = 18
z2 = 2

Таким образом, получаем два возможных решения для x:

x^2 = 18 => x1 = √18 и x2 = -√18
или
x^2 = 2 => x3 = √2 и x4 = -√2

Теперь найдем соответствующие значения y:

Подставим x1 и x2 в уравнение xy = 6:

x1y1 = 6
√18y1 = 6
y1 = 6/√18
y1 = 2√2/3

x1 = √18, y1 = 2√2/3

Аналогично для x2:

x2y2 = 6
-√18y2 = 6
y2 = -6/√18
y2 = -2√2/3

x2 = -√18, y2 = -2√2/3

Теперь для x3 и x4:

x3y3 = 6
√2y3 = 6
y3 = 6/√2
y3 = 3√2

x3 = √2, y3 = 3√2

Аналогично для x4:

x4y4 = 6
-√2y4 = 6
y4 = -6/√2
y4 = -3√2

x4 = -√2, y4 = -3√2

Итак, система имеет 4 корня:
(√18, 2√2/3), (-√18, -2√2/3), (√2, 3√2), (-√2, -3√2)