Уравнение с параметром При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2-ax+a-3=0 принимает наименьшее значение, и найти это значение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни уравнения x^2 - ax + a - 3 = 0.
Используем формулу дискриминанта D = a^2 - 4ac.
D = a^2 - 4(a - 3) = a^2 - 4a + 12.
Корни уравнения будут равны x1,2 = (a ± √D)/2.

Теперь найдем сумму квадратов корней:
(x1)^2 + (x2)^2 = [(a + √D)/2]^2 + [(a - √D)/2]^2 = a^2 + D/2.
Подставляем D = a^2 - 4a + 12 и упрощаем выражение:
Sum = a^2 + D/2 = a^2 + (a^2 - 4a + 12)/2 = 3a^2 - 4a + 6.

Это квадратное уравнение с ветвями вниз и вершиной, которая находится в точке (-b/2a), где b = -4 и a = 3.
Таким образом, a вершина функции Sum находится в точке (2/3, -2/3).

Значит, наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения x^2 - ax + a - 3 = 0 равно -2/3 и достигается при a = 2/3.