Постройте график y=(x+1)(x²-4X+3)/X-1 и найдите все прямые проходящие через начало координат, которые имеют с этим графиком ровно одну общую точку. Изобразите эти прямые и запишите их уравнения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y=(x+1)(x²-4x+3)/(x-1):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = (x+1)*(x*2 - 4x + 3)/(x-1)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='y=(x+1)(x²-4x+3)/(x-1)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.show()

Теперь найдем прямые, проходящие через начало координат, которые имеют с этим графиком ровно одну общую точку. Пусть уравнение такой прямой будет y=kx, где k - коэффициент наклона.

Так как прямая проходит через начало координат, то точка (0,0) должна лежать на этой прямой, то есть y=0=0*k=0. Значит, уравнение прямой будет иметь вид y=kx.

Чтобы найти коэффициент наклона k прямой, решим уравнение (x+1)(x²-4x+3)/(x-1) = kx:

(x+1)(x²-4x+3)/(x-1) = kx
(x+1)(x-3)(x-1)/(x-1) = kx
(x+1)(x-3) = kx
x² - 2x - 3 = kx
x² - (2+k)x - 3 = 0

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень x второй корень должен быть равен тому корню, который мы уже нашли. То есть дискриминант этого уравнения равен нулю:

(2+k)² - 4*(-3) = 0
4 + 4k + k² + 12 = 0
k² + 4k + 16 = 0
(k+2)² = 0

k = -2

Таким образом, искомые прямые имеют уравнение y=-2x.

Построим их на графике:

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='y=(x+1)(x²-4x+3)/(x-1)')
plt.plot(x, -2*x, label='y=-2x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.show()