Доказать, что ((n+1)(n+2)...(2n-1)*2n)/(1*3*5...(2n-1))=2^n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции: при n=1 левая часть равна 2^1=2, что соответствует правой части.

Предположим, что утверждение верно для некоторого n=k, т.е.
((k+1)(k+2)...(2k-1)2k)/(13*5...(2k-1))=2^k

Докажем, что утверждение верно и для n=k+1:
((k+2)...(2k-1)2k(2k+1))/(135...(2k-1)(2k+1)) = ((k+1)(k+2)...(2k-1)2k)/(135...(2k-1)) 2(2k) / (2k+1) = 2^k 2 2k / (2k+1) = 2^(k+1) 2k / (2k+1) = 2^(k+1) 2 = 2^(k+1).

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных чисел n.