«Колонія мікроорганізмів» За допомогою мікроскопу вчені вивчають n мікроорганізмів, які є ідентичними між собою в усьому, крім розмірів та швидкості росту. Кожен мікроорганізм росте з певною лінійною швидкістю, яка для різних організмів може бути різною. Щохвилини вчені проводять спостереження: вони дивляться у мікроскоп та занотовують n чисел, що відповідають розмірам мікроорганізмів у даний момент часу (порядок чисел виявляється довільним, оскільки організми весь час рухаються). а) Доведіть, що існує число m , яке може залежати від n , але не залежить від набору мікроорганізмів, таке що після m спостережень вчені гарантовано зможуть вивести набір із n швидкостей, з якими ростуть мікроорганізми. б) Чи можна покласти m = 3?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Позначимо через S_i розмір i-го мікроорганізму в момент часу t. Тоді ми можемо записати, що S_i = S_i-1 + v_i, де v_i - швидкість росту і-го мікроорганізму. Після m спостережень ми матимемо систему рівнянь:

S_1 = a_11
S_2 = a_12
...
S_n = a_1n
S_1 = a_21
S_2 = a_22
...
S_n = a_2n
...
S_1 = a_m1
S_2 = a_m2
...
S_n = a_mn

Де a_ij - розмір j-го мікроорганізму після i-го спостереження. Цю систему можна представити у вигляді матриці розмірів мікроорганізмів A, де A = (a_ij), та вектору S_0 розмірів мікроорганізмів у початковий момент часу.

Отже, за умовою задачі гарантовано, що після m = n+1 спостережень ми зможемо вивести набір із n швидкостей росту мікроорганізмів.

б) Не можна покласти m = 3, оскільки для n мікроорганізмів ми повинні мати щонайменше n+1 спостережень, щоб гарантовано вивести їхні швидкості росту.