На столе стоят песочные часы высоты 16 см, представляющие собой два соединенных усеченных одинаковых конуса. Радиус горлышка (отверстия, через которое сыпется песок) равен 1 см. Тангенс угла раствора конусов равен 4/3. Чему равен объем песочных часов в см3? Ответ округлите до ближайшего целого.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления объема песочных часов нам необходимо вычислить объем каждого конуса и затем сложить их.

Объем конуса рассчитывается по формуле: V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как у нас два конуса, то общий объем будет равен удвоенной сумме объемов одного конуса.

Рассмотрим первый конус. У нас известно, что тангенс угла раствора конусов равен 4/3, а это соотношение соответствует соотношению высоты основания одного конуса к радиусу его основания. То есть h/r = 4/3.

Если h/r = 4/3, то h = (4/3) * r.

У нас также известна высота всего конструкта - 16 см, равная сумме высоты первого и второго конуса. Пусть h1 - высота первого конуса, h2 - высота второго конуса.

Итак, у нас система уравнений:
h1 = (4/3) * r
h2 = h - h1

Подставим значение h1 во второе уравнение:
h2 = 16 - (4/3) * r

Так как у нас конусы одинаковые, то и объемы их одинаковые, поэтому V1 = V2, т.е. объем каждого из них равен половине от общего объема:

V1 = V2 = Vtotal/2

Теперь можем выразить V1 через r:
V1 = (1/3) π r^2 h1 = (1/3) π r^2 (4/3) r = (4/9) π * r^3

Также выразим Vtotal через r:
Vtotal = 2 V1 = 2 (4/9) π r^3 = (8/9) π r^3

Осталось найти r:
h = h1 + h2 = (4/3) r + 16 - (4/3) r = 16
4/3 r - 4/3 r = 16 - 16
0 = 0, решение верно, поэтому данная система возможна.

Из уравнения h = 16 находим r = 3.75.

Подставляем найденное значение r в выражение для Vtotal:
Vtotal = (8/9) π 3.75^3 ≈ (8/9) 3.14 52.7 ≈ 148.6 см^3

Ответ: объем песочных часов составляет приблизительно 149 см3.