Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(12;2), B(14;4), C(6;12) и D(4;10)
SABCD=

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, можно воспользоваться тем фактом, что прямоугольник имеет две противоположные стороны, равные и параллельные друг другу, а также углы, равные 90 градусов.

Для начала найдем уравнения прямых AB, BC, CD, DA.

Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x1; y1) и B(x2; y2), имеет вид: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1).

Уравнение прямой AB
y - 2 = (4 - 2) / (14 - 12) (x - 12
y - 2 = 2/2 (x - 12
y - 2 = x - 1
y = x - 10

Уравнение прямой BC
y - 4 = (12 - 4) / (6 - 14) (x - 14
y - 4 = 8/-8 (x - 14
y - 4 = -1 * (x - 14
y = -x + 18

Уравнение прямой CD
y - 12 = (10 - 12) / (4 - 6) (x - 6
y - 12 = -2/-2 (x - 6
y - 12 = x -
y = x + 6

Уравнение прямой DA
y - 10 = (2 - 10) / (12 - 4) (x - 4
y - 10 = -8/8 (x - 4
y - 10 = (x - 4
y = x - 6

Теперь найдем углы между сторонами: AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB. Если получим, что они равны 90 градусов, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Угол между сторонами AB и BC
tan(AB, BC) = (k_BC - k_AB) / (1 + k_AB k_BC) = (1 - (-1)) / (1 + (-1) 1) = 2/0 - нет определённого значения

Аналогично для остальных сторон видим, что углы нигде не равны 90 градусов. Значит, четырёхугольник ABCD не является прямоугольником.

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, можно воспользоваться формулой Гаусса для площади выпуклого четырехугольника по координатам вершин
S = (1/2) * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) + x4(y2 - y1)|

Подставляем координаты вершин
S = (1/2) |12(4 - 12) + 14(12 - 2) + 6(2 - 10) + 4(10 - 4)| = (1/2) | -64 + 120 - 80 + 24 | = (1/2) * | 0 + 64 | = 32.

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 32.