Решить систему уравнений [tex] \frac{x \times y}{x + y} = 1 - z \\ \frac{y \times z}{y + z} = 2 - x \\ \frac{z \times x}{z + x} = 2 - y[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первое уравнение можно переписать в виде [tex]xy = (1-z)(x+y)[/tex]. Раскроем скобки: [tex]xy = x+y-xz-yz[/tex]. Преобразуем данное уравнение:

[tex]
xy - x - y + xz + yz = 0 \
xy - y - x + xz + yz = 0 \
(x-1)(y+z) + yz = 0 \
(x-1)(y+z) = -yz
[/tex]

Аналогично для второго и третьего уравнений получим:

[tex]
(y-1)(z+x) = -xz \
(z-1)(x+y) = -xy
[/tex]

Таким образом, получаем систему уравнений:

[tex]
(x-1)(y+z) = -yz \
(y-1)(z+x) = -xz \
(z-1)(x+y) = -xy
[/tex]

Сложим все уравнения:

[tex]
(x-1)(y+z) + (y-1)(z+x) + (z-1)(x+y) = -yz - xz - xy \
2(xy + yz + zx) - (x+y+z) = -xy - xz - yz \
xy + yz + zx = x + y + z
[/tex]

Подставим полученное уравнение обратно в исходные уравнения:

[tex]
\frac{2}{x+y} (x+y+z) = 3 \
x + y = 3
[/tex]

Из этого уравнения получаем, что [tex]x + y = 3[/tex]. Подставляем в исходную систему:

[tex]
\frac{3z}{3+z} = 1-z \
\frac{z}{3} = 1-z \
z = 1
[/tex]

Итак, получили, что [tex]x + y = 3[/tex] и [tex]z = 1[/tex]. Подставляем это в одно из исходных уравнений, например в первое:

[tex]
\frac{3 \times 1}{3 + 1} = 1 - 1 \
\frac{3}{4} = 0 \
]

Решения системы уравнений отсутствуют, так как мы получили противоречие.